Ứng dụng của đa thức đối xứng ba biến-Chuyên đề số học

Một số ứng dụng của đa thức đối xứng ba biến

Định lí Vi-ét với phương trình bậc ba. Định lí Vi-ét thuận.Định lí: Giả sử phương trình    có 3 nghiệm  . Khi đóĐịnh lí Vi-ét đảo.Định lí:   Nếu 3 số  thỏa mãnthì là nghiệm của phương trình

Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm

Bài toán 1.1 Tìm hệ thức giữa các hệ số của phương trình (*). Biết rằng phương trình có 3 nghiệm mà một nghiệm bằng tổng hai nghiệm còn lại

Giải:Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm là  và  . Khi đóTừ (1)Thay vào (2) ta đượcThay vào (3) ta được

Bài toán 1.2  Nếu phương trình  (*) có các hệ số thỏa mãn hệ thức  thì nó có ít nhất một nghiệm làGiảiTa có Như vậy nếu thì phương trình (*) có một nghiệm là

Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Ta có các biểu thức đối xứng điển hình giữa các nghiệm  của phương trình bậc ba. Chú ý. Nếu ta đặt. Ta có, Gọi là nghiệm của phương trình Đặt. Khi đó ta có

Bài toán 2.1 (CHDC Đức,1970) Cho  là 3 nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng. GiảiÁp dụng định lí Vi-ét ta cóKhi đóDo đó

Bài toán 2.2 (Việt Nam,1975) Không giải phương trình. Hãy tính tổng các lũy thừa bậc 8 của các nghiệm. Giải. Giả sử  là các nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Vi-ét ta có. Từ phương trình đã cho ta được. Như vậy ta có

 Bài toán 3.2  (Áo,1983) Tìm a để các nghiệm  của đa thức. Đặt . Bài toán trở thành : Tìm  để các nghiệm của đa thức. Vậy giá trị cần tìm của  là

BÀI TOÁN 4 Một số dạng khác

Bài toán 4.1 (Canada,1982). Cho  có hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu đa thức có một nghiệm bằng tích 2 nghiệm còn lại thì

Bài toán 4.2 (Việt Nam,1980). Phương trình  có thể có 3 nghiệm là số hữu tỉ được hay không? Tại sao?

Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng nếu  có các nghiệm phân biệt  thì

Bài 2. Biết rằng tất cả các nghiệm của phương trình  đều là các số thực. Chứng minh

Bài 3. Chứng minh là 3 nghiệm của phương trình

Bài 4. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình () là các số nguyên thì là số chính phương.

Bài 5. Biết rằng phương trình  có 3 nghiệm dương và các đoạn thẳng mà chiều dài của chúng bằng các nghiệm trên là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng

Hệ phương trình đối xứng ba biến

Áp dụng định lí Vi-ét đảo, ta có: a, b, c là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm. Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .Bài tập vận dụng. Bài 1. Giải hệ phương trình :Bài 2. Giải hệ phương trình:Bài 3. Giải hệ phương trình:

Bất đẳng thức đối xứng ba biến

Một số bất đẳng thức đối xứng ba biến quen thuộc. Trong phần này ta đồng nhất kí hiệu của đa thức đối xứng ba biến cơ sở như sau

Ứng dụng của a thức đối xứng-xem chi tiết nội dung